在直角三角形中，三角函数sin、cos和tan被定义如下：

正弦函数（sin）被定义为三角形的对边与斜边之比，公式为sin(θ)=对边/斜边。通过此公式我们可以了解到sin与角度θ的关系。接下来，余弦函数（cos）被定义为三角形的邻边与斜边之比，公式为cos(θ)=邻边/斜边。通过此公式我们可以了解到cos与角度θ的另一种关系。正切函数（tan）被定义为三角形的对边与邻边之比，公式为tan(θ)=对边/邻边。这些定义都是基于直角三角形中的相关长度关系得出的。对于直角三角形中的特定角度θ，斜边是最长的一边，对边是与给定角度θ对应的边，而邻边则是与该角度相邻的边。

接下来，三角函数sin、cos和tan的常用公式如下：

正弦函数（sin）的公式包括余弦关系和三角恒等式等。其中，sin(θ)= cos(90°-θ)，表示正弦和余弦之间的转换关系。sin函数还满足三角恒等式sin(-θ)=-sin(θ)，倍角公式sin(2θ)= 2sin(θ)cos(θ)，以及和差公式sin(α+β)= sin(α)cos(β)+ cos(α)sin(β)等。这些公式可以帮助我们更好地理解和运用正弦函数。

余弦函数（cos）的公式包括正弦关系、三角恒等式、倍角公式以及和差公式等。其中，cos(θ)= sin(90°-θ)，展示了余弦和正弦之间的转换关系。还有三角恒等式cos(-θ)= cos(θ)，倍角公式cos(2θ)= cos2(θ)- sin2(θ)，以及和差公式cos(α+β)= cos(α)cos(β)- sin(α)sin(β)等。这些公式为我们提供了余弦函数的丰富性质。

正切函数（tan）的公式包括正切关系、三角恒等式、倍角公式以及和差公式等。其中，tan(θ)= sin(θ)/ cos(θ)，展示了正切与正弦和余弦之间的关系。还有三角恒等式tan(-θ)=-tan(θ)，倍角公式tan(2θ)= 2tan(θ)/(1- tan2(θ))，以及和差公式tan(α+β)=(tan(α)+ tan(β))/(1- tan(α)tan(β))等。这些公式有助于我们更好地理解和运用正切函数。在实际应用中，这些公式对于解三角方程、求解三角函数值以及化简复杂表达式等问题非常有用。它们提供了对三角函数之间关系的深刻理解和运用。除了基本的定义和公式外，三角函数sin、cos和tan还在许多领域有着广泛的应用。例如，在几何学中可以解决与几何形状和角度相关的问题；在物理学中描述和计算位移、速度和加速度等；在工程中解决地形坡度、角度计算以及建筑设计等问题；在导航和航海中计算船只或飞机的位置、方向和速度；在信号处理中进行信号的变换、滤波和频谱分析等。三角函数还在统计学、经济分析等领域有着广泛的应用。通过了解三角函数的性质和应用示例，可以更好地理解其在各个领域中的重要性。最后通过一些例题来加深对三角函数sin、cos和tan的理解和应用。例如已知角度的正弦值求其余弦值和正切值的问题可以通过三角恒等式进行求解。通过这些例题可以锻炼我们的解题能力并加深对三角函数的理解。对边比斜边：正弦函数深入解析

正弦函数在直角三角形中，描述的是对边与斜边的比例关系。具体地，sinA表示角A的对边与斜边的比值。正弦函数是直角三角形中，任意一锐角的对边与斜边的比值，记作sinA。

古代所说的“勾三股四弦五”中的“弦”，对应的就是直角三角形中的斜边。而正弦，就是直角边（股）与斜边（弦）的比例。换句话说，正弦值等于股长除以弦长。

关于三角函数的边的比值，我们可以详细解析如下：

1. 正弦函数（sin）：描述的是角α的对边与斜边的比值，公式为sinα=∠α的对边/斜边。

2. 余弦函数（cos）：描述的是角α的邻边与斜边的比值，公式为cosα=∠α的邻边/斜边。

3. 正切函数（tan）：描述的是角α的对边与邻边的比值，公式为tanα=∠α的对边/∠α的邻边。

在三角函数的应用中，正弦、余弦和正切分别代表了直角三角形中不同边的比值关系。其中，正弦表示对边与斜边的关系；余弦表示邻边与斜边的关系；正切表示对边与邻边的关系。这些函数在解决与三角形相关的问题，如角度和长度的计算上，具有非常重要的作用。

余弦定理是描述三角形边角关系的重要定理之一。该定理指出：三角形的任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。余弦定理也提供了相应的公式，可以根据三角形的三条边长求出三个内角，或者根据部分已知信息求出未知信息。公式中，a、b、c为三角形的三条边，A、B、C为对应的三个角，通过公式可以计算出任意角的余弦值。这些三角函数的理论和公式在几何学、物理学、工程学等领域都有广泛的应用。