tan3x可以表示为sin3x除以cos3x。接着，我们运用链式法则和基本的导数规则来求解这个比值的导数。

利用商的导数法则（即规则③），我们需要计算（分子导数乘以母分母，减去分子乘以母分母导数）并除以母分母的平方。为此，我们先求出每个部分的导数。我们知道（cos3x）'等于-3sin3x，（sin3x）'等于3cos3x。

代入公式，我们可以得到：

tan3x' = [(3cos3x)' cos3x - sin3x (cos3x)'] / (cos3x)^2

通过计算，我们得出结果为：

= [(-3sin3x) cos3x - sin3x (-3sin3x)] / (cos3x)^2

= (3cos^23x + 3sin^23x) / (cos3x)^2

由于sin^2x + cos^2x = 1（这是三角恒等式），所以上述表达式可以简化为：

= 3 / (cos3x)^2

这表明tan3x的导数是3除以cos3x的平方。理解了这一基本的导数法则后，无论我们面对类似tan3x这样的复合函数，还是处理更复杂的函数组合，都能得心应手。

以下为详细步骤：

1. 确定函数形式：tan3x = sin3x / cos3x。

2. 应用链式法则求导：tan3x' = (sin3x / cos3x)'。

3. 使用商的导数法则进行计算：[分子导数 分母 - 分子 分母导数] / 分母平方。

4. 计算各部分导数，并代入公式。

5. 简化表达式，得出最终结果。

对于更复杂的求导问题，如使用洛必达法则，我们也有相应的解决方法。洛必达法则是一种在特定条件下通过分别求导再取极限来确定未定式值的方法。

对于原式（如需使用洛必达法则两次的例子），我们首先对分子分母分别求导，然后在限定的区域内判断其极限是否存在。如果存在，则直接得到答案；如果不存在，则说明该未定式不可用洛必达法则解决；如果结果仍为未定式，则需在验证的基础上继续使用洛必达法则。

洛必达法则的应用不仅限于数学分析课程，还贯穿于各种涉及极限思想的领域。在数学中，极限是许多概念的基础，如函数的连续性、导数、定积分等。了解并掌握洛必达法则，有助于我们更好地理解和应用这些概念。

扩展阅读：极限思想在数学中的重要性不言而喻。几乎所有的数学分析著作都会先介绍函数理论和极限的思想方法，然后利用极限的思想方法定义连续函数、导数、定积分等概念。深入理解极限思想和方法，对于提高数学素养和解决实际问题都具有重要意义。