对于二阶常系数线性微分方程，其一般形式为：y'' + py' + qy = f(x)。其中p和q是实常数，自由项f(x)是定义在区间I上的连续函数。当f(x)=0时，方程称为二阶常系数齐次线性微分方程。以下是关于这种方程的详细介绍和求解方法。

一、通解形式：

1. 两个不相等的实根情况：y = C1e^(r1x) + C2e^(r2x)。

2. 两根相等的实根情况：y = (C1 + C2x)e^(r1x)。

3. 一对共轭复根情况：r1 = α + iβ，r2 = α - iβ，此时解的形式为：y = e^(αx) (C1cosβx + C2sinβx)。

二、特解求法：

对于非齐次方程，设特解为y。其中Q(x)是与f(x)同次的多项式，k的取值取决于特征根的情况。将y代入原方程，通过比较方程两边x的同次幂的系数，可以确定Q(x)的系数从而得到特解y。

三、多项式法：

对于常系数线性微分方程y'' + py' + qy = pm(x)e^(λx)，其中p，q，λ是常数，pm(x)是x的m次多项式。设y = ze^(λz)，方程可转化为关于z的方程。这里F(λ) = λ^2 + pλ + q为特征多项式。

四、升阶法：

当f(x)为多项式时，将方程两边同时对x求导n次，然后根据结果来求解。

举例说明：求微分方程2y'' + y' - y = 0的通解。

首先求对应的齐次方程2y'' + y' - y = 0的通解。其特征方程为2r^2 + r - 1 = 0，解得r = 1/2 或 r = -1。通解为 Y = C1e^(x/2) + C2e^(-x)。

由于本例中的数字1不是特征根，所以设原方程的特解为y = Ae^x。代入原方程得到A的值，从而得到特解y。所以原方程的通解为 y = Y + y，即 y = C1e^(x/2) + C2e^(-x) + e^x。

二阶常系数线性微分方程在物理、工程、控制等领域有广泛应用。理解和掌握其求解方法对于解决实际问题具有重要意义。