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一、自然数集包括加法和乘法运算。两个自然数相加或相乘的结果仍为自然数。虽然自然数也可以进行减法和除法运算，但结果未必都是自然数。减法和除法在自然数集中的运算并不是总能成立的。

二、自然数是人们认识的所有数中最基本的一类。为了更好地理解数的系统，19世纪的数学家建立了自然数的两种等价理论：序数理论和基数理论。这些理论使自然数的概念、运算和相关性质得到了严格的论述。

三、关于零是否是自然数的问题，国内外数学界一直存在两种观点。一种观点认为零是自然数，另一种则认为不是。在我国的中小学教材中，自然数是不包括零的。为了与国际交流方便，根据1993年颁布的《中华人民共和国国家标准》，自然数包括零。在最近的中小学数学教材修订中，已经根据这一国家标准进行了相应的修改。

四、在日常生活中，自然数扮演着重要的角色。人们广泛使用自然数来进行计数和测量。自然数还被用于给事物标号或排序，如城市公交路线、门牌号码等。虽然一些人认为自然数应该从1开始算起，即不包括零，但在数学理论中，特别是在集合论中，自然数通常包括零。

五、零是自然数的一种观点得到了广泛的认可。在数学中，自然数的定义可以从1开始，包括所有正整数。在某些数学分支，如集合论中，自然数也包括零。中国大陆的中小学教材已经将零纳入自然数的范畴。零也被视为偶数。国际数学协会在2002年确定零为偶数，中国随后在2004年也采纳了这一规定。零不仅是最小的自然数，也是最小的偶数。

对于“零是否是自然数”这个问题，虽然存在争议，但在数学界和日常生活中，越来越多的人倾向于将零视为自然数。无论是哪种观点，都需要我们深入理解和掌握数的概念、运算和相关性质。