东辰安华知识网 大家好，如何用确界存在定理证明聚点原理相信很多的网友都不是很明白，包括实数系几大基本定理都有什么也是一样，不过没有关系，接下来就来为大家分享关于如何用确界存在定理证明聚点原理和实数系几大基本定理都有什么的一些知识点，大家可以关注收藏，免得下次来找不到哦，下面我们开始吧！
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什么是聚点
聚点，多义词，一是指高等数学中又被叫做“极限点”的定义，即：设E是数轴上的无限点集，P是数轴上的一个定点(可以属于E,也可以不属于E)。
若任意的e大于0，点P的e邻域U（P，e）都含有E的无限多个点，则称P是E的一个聚点。
另一种是用iebook超级精灵电子杂志制作软件制作的电子杂志名称。
为什么确界存在定理仅对实数集成立
很久之前看到过这个问题，实数（系）的连续性的确可以这么表达。先上主要结论：除了确界存在定理（1）是可以很直观的看出实数的连续性，（2）-（6）似乎与实数连续性很难扯上关系，但是（1）-（6）都反映了实数的完备性，经过证明可知连续性等价于完备性，因此（2）-（6）也反映了实数的连续性。
然后分别回答：
1.确界存在定理，它的作用很大（其实基本定理的作用都非常大），比如说，利用确界存在定理可以证明有理数不具有连续性，是具有“空隙”的；比如说是极限理论的基础。那么，假设有“空隙”（设为a），那么在数轴上，“空隙”的左边存在上界，因为，有，根据确界存在定理，它必有上确界，但与原假设矛盾。同理，“空隙”的右边亦如此。因此，没有“空隙”。我们称“实数系连续性定理——确界存在定理”。
6.Cauchy收敛原理，也可以用来判断数列是否收敛，这个原理表明由实数构成的基本数列{xn}必存在实数极限——又称之为实数系的完备性（实数集合是一个完备空间，而有理数系不是一个完备空间，举例：{(1+1/n)^n}是一个有理数构成的数列，但它的极限是无理数）——实际上在实数系中，完备性与连续性这两个概念是等价的。
默默吐槽一句公式真的好难打，我能不打公式就不打公式了！
2.单调有界定理，可以利用实数系连续性定理——确界存在定理+语言证明，它的作用包括了从数列本身来研究数列的敛散性，可是这跟实数的连续性/完备性有什么关系？我个人觉得是因为，这个定理是由实数系连续性定理推出的，因此反映了实数的连续性。此外，单调有界并存在极限这一定理在有理数集上是不成立的（见上例），而在实数集上是成立的，其原因也是在于实数的连续性。
3.闭区间套定理，则是利用了实数系连续定理+单调有界定理证明的，它的作用包括了证明实数集是不可列集。与2同理。
4.有限覆盖定理，又称Heine-Borel定理（下文简称H-B定理）。H-B定理就是说，若开区间集S覆盖闭区间[a,b]，则S中有有限个开区间覆盖闭区间[a,b]，它可由区间套定理证明。（嗯...暂时不知道要说啥好，感觉前面说的都挺多了）
5.聚点定理，又称Bolzano-Weierstrass定理（下文简称B-W定理）。首先，我们要明确什么是聚点，设A是直线上的点集，a是一个定点，若a的任意领域内都含有A的无限多个点，则称a为点集A的一个聚点。聚点定理可表述为：直线上的有界无穷点集至少有一个聚点。并且，我们还有B-W定理（致密性定理）——有界数列必有收敛子列。
我们可以由定理1推出2推出3推出4推出5推出6，因此我们说实数系的连续性（定理1）包含了完备性（定理6）；同理，我们可以证明定理6推出3推出1（全部倒推一遍也同样成立）。两个结论结合在一起，我们说实数系的连续性等价于实数系的完备性。那么，在这里用到的1、2、3、4、5、6自然反映了实数的连续性（定理1）。所以这里所说的反映实数的连续性，个人认为并不是每一个定理都像确界存在定理一样可以通过“想象”的，只不过是存在着这样一种等价命题罢了；同时它们也反映了实数系的完备性，是可以比较好理解的，因为在有理数系中这些定理不成立，而在实数系中这些定理成立了。
最后补充两个稍微偏题的小知识：
1.除了定理（1）和（2），其余定理在
R^n
依然成立，因此也称为在欧几里得空间上的基本定理，也同样等价。2.运用定理（1）证明实数的连续性还应该要用到级数知识，才能得到更为严格的证明，Dedekind切割定理也同样可以阐述并证明实数系的连续性，它是以有理数集合切割为基础推导出实属的连续性，并且可以通过该定理证明定理（1）。在陈纪修老师的《数学分析》一书中有详细的关于该定理的定义、定理，与（1）类似，比较直观地阐述了实数系的连续性。
不足之处，请指正=v=
实数系几大基本定理都有什么
实数系的基本定理也称实数系的完备性定理、实数系的连续性定理，这些定理分别是确界存在定理、单调有界定理、有限覆盖定理、聚点定理、致密性定理、闭区间套定理和柯西收敛准则，共7个定理。
它们彼此等价，以不同的形式刻画了实数的连续性，它们同时也是解决数学分析中一些理论问题的重要工具，在微积分学的各个定理中处于基础的地位。
7个基本定理的相互等价不能说明它们都成立，只能说明它们同时成立或同时不成立，这就需要有更基本的定理来证明其中之一成立，从而说明它们同时都成立，引进方式主要是承认戴德金公理，然后证明这7个基本定理与之等价，以此为出发点开始建立微积分学的一系列概念和定理。
复数序列的聚点怎么求
对于经典的聚点定理，由于S有界，故肯定可以被闭区间A1=[a，b]包含，然后利用二分的思想，它的两个子区间[a,(a+b)/2],[(a+b)/2,b]必定有一个区间有无穷个点，若不然，[a，b]中只有有限个点，不妨设为A2=[a,(a+b)/2]，继续分下去，直到这个区间长度小于ε，这个之中有无穷个点，然后利用区间套定理，这个区间列{An}必有一个聚点。
好了，文章到此结束，希望可以帮助到大家。
