东辰安华知识网 其实如何用确界存在定理证明聚点原理的问题并不复杂，但是又很多的朋友都不太了解聚点定理证明柯西收敛准则，因此呢，今天小编就来为大家分享如何用确界存在定理证明聚点原理的一些知识，希望可以帮助到大家，下面我们一起来看看这个问题的分析吧！
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数学分析:用确界原理证明有限覆盖定理
几条完备性定理本来就是等价的，构造一个上下界均为无理数的集合证否确界原理即可推出其他几条不成立。
但如果想要具体例子的话，可以考虑。比如该极限的聚点为无理数e，从而证否聚点定理；该极限满足Cauchy收敛准则，但极限为无理数e，从而证否准则。
至于有限覆盖定理，有一种比较巧妙的证法是，考虑区间，则。
由有理数的可数性，令。因为每个开区间至少包含一个点，所以是的一个开覆盖。
考虑任意的，且中元素只有个。令为所有个端点中与最近的一个。则到中的所有有理数都没有被覆盖，从而证否了有限覆盖定理。
聚点定理证明柯西收敛准则
证明：令{An}为收敛数列，则其必有极限，令{An}极限为M，故存在正整数N；
若{An}中至多含有有限个不同的点则从某项起{An}含有无限多个相同的点即{An}为常数列，否则{An}不满足柯西条件；
若{An}中含有无限多个各不相同的点则根据聚点定理{An}至少含有一个聚点，假设{An}含有两个聚点d1d2且d1<d2，令e=d2-d1，所以在U(d1；e/3)U(d2；e/3)内都含有{An}中的无限多个点，这与存在N，当mn>N时｜An-Am｜<H矛盾，故{An}只含有一个聚点；
令其为d1,所以当nm>N，｜An-Am｜<H/2（H为大于0的任意正数）时存在Ah属于U（d1；e/3）且｜Ah-d1｜<H/2，所以｜An-d1｜<｜An-Ah｜+｜Ah-d1｜<H/2+H/2=H，故{An}收敛于d1。
聚点原理怎么理解
聚点原理亦称外尔斯特拉斯定理，或波尔查诺-外尔斯特拉斯定理，刻画实数系R的连续性的常用命题之一。它断言：R(Rn或度量空间)的每个有界无穷子集至少有一个聚点。它是外尔斯特拉斯(K.(T.W.).Weierstrass)于1860年得到的，在他的证明中采用了波尔查诺(Bolzano，B.)首创的对分法。
高等数学中的聚点到底啥意思，通俗点解释，有什么作用
聚点是拓扑空间的基本概念之一。设A为拓扑空间X的子集，a∈X，若a的任意邻域都含有异于a的A中的点，则称a是A的聚点。集合A的所有聚点的集合称为A的导集，聚点和导集等概念是康托尔(Cantor，G.(F.P.))研究欧几里得空间的子集时首先提出的。
海恩-波莱尔定理（Heine-Borel）假设E为有界闭集，且对E内每一点z都作一个以这一点为圆心的圆域(这个圆的半径没有限制，它可以取任意正实数)，则在这些圆中必可以找到有限多个来把有界闭集E复盖住，换句话说，E的每一点至少属于这有限个圆域中的一个圆域的内部。此定理又叫做有限复盖定理，它是复变函数论里的重要定理。
扩展资料
聚点x是x的任意领域内都有无穷多个点，边界点是聚点，但聚点不一定是边界点。
通俗地，对于数轴上点集E的聚点P，总可以在E中找到一个无穷数列a(n)（不等于P），使得lima(n）=P，又举例来说，空间中一个球体的内部以及表面上的任何一个点都是该球体的聚点。
对于有限点集，是不存在聚点的。聚点可以是E中的点，也可以不属于E。
参考资料：
关于如何用确界存在定理证明聚点原理，聚点定理证明柯西收敛准则的介绍到此结束，希望对大家有所帮助。
